Wahrscheinlich gewinnen – Teil 2 – Dead Man’s Draw

Im ersten Exkurs zur Wahrscheinlichkeitsrechnung haben wir uns mit Catan beschäftigt. Nun hat uns Jürgen Eberhardt – unser Chef Mathematiker – jedoch die nächste Lerneinheit zur Verfügung gestellt. Erneut hatten wir keine Ahnung, was uns genau erwartet, aber wieder einen Schritt in Richtung Stochastik-Profi gemacht. Begleitet uns also auf unserer Reise, wenn wir diesmal Dead Man’s Draw stellvertretend für alle Push-your-Luck Kartenspiele analysieren.

Was wir erwarten sollten

Bevor wir in das Spiel einsteigen, müssen wir zuerst einmal einen neuen Begriff erlernen. Den Erwartungswert. Kurz zusammengefasst versteht man darunter, was wir auf lange Sicht zu erwarten haben, wenn wir ein Risiko eingehen.

Als Beispiel nehmen wir ein ganz einfaches Spiel. Stellt euch vor, ihr werdet auf der Straße angesprochen. Ihr müsst 38,- € einsetzen. Danach werft ihr einen Würfel und erhaltet das 10-Fache eures Ergebnisses. Ihr sagt nun, dass sich das bei einer in 3:6 Fällen (also in 50 % aller Ergebnisse) lohnt. Das stimmt so, aber, was bedeutet es auf lange Sicht? Ist es wahrscheinlicher, dass wir mit dem Spiel Geld verdienen oder verlieren?

Hier kommt der Erwartungswert ins Spiel. Mathematisch ausgedrückt erhält man diesen über die folgende Formel.

Und nein, wir verstehen das natürlich auch nicht auf Anhieb. Aber dafür haben wir ja unser Beispiel.

Was sind denn die möglichen Ergebnisse, die wir erhalten können, nachdem wir den Würfel geworfen haben?

Und zwar jeweils mit einer Chance 1:6. Die Formel lautet also:

Wir alle haben in der Schule vor allem eines von unserem Mathelehrer behalten. „Mathematiker sind faul!“. Also verkürzen wird die Formel.

Oder noch leichter.

Und rechnen wir es aus, wissen wir nun, dass das Ergebnis 35,- € lautet. Das bedeutet, dass ihr laut Wahrscheinlichkeitsrechnung auf lange Sicht je Spiel 3,- € Verlust macht. Ein schlechter Deal sozusagen.

Wollt ihr Glücksspiel betreiben, könnt ihr im Übrigen davon ausgehen, dass der Erwartungswert zugunsten des Anbieters ausschlägt. Egal, ob es Roulette, Lotto, Toto oder sonst wie heißt.

Dead Man’s Draw

Bevor wir mit dem geplanten Beispiel an sich starten gibt es hier noch eine kurze Regelzusammenfassung. Sind wir am Zug, decken wir eine Karte vom Stapel auf. Nach jeder Karte dürfen wir aussteigen oder eine weitere Karte ziehen. Wer aufhört, erhält alle aufgedeckten Karten als Belohnung. Decken wir jedoch eine gleiche Karte erneut auf, verlieren wir alle Karten.

Für diesen Kurs blenden wir dabei die Sonderaktionen der einzelnen Karten genauso aus, wie die aufgedruckten Werte. Außerdem werden wir in diesem Beispiel keine Überlegung einfließen lassen, welche Karten schon aus dem Talon entfernt wurden. Mit solchen Dingen beschäftigen wir uns, wenn wir weiter im Thema Wahrscheinlichkeitsrechnung vorangeschritten sind.

Lohnt es sich eine Karte zu ziehen?

Also, gehen wir davon aus, dass wir die ersten beiden Karten aufgedeckt haben. Ein Schwert und einen Anker. Sollten wir nun eine weitere Karte ziehen? Im Spiel befinden sich zumindest 10 Kartenarten, so dass es eigentlich relativ sicher sein sollte weiter zu machen. Aber, was sagt der Erwartungswert?

Zuerst einmal betrachten wir den sicheren Erfolg. Würden wir jetzt aufhören, wären uns 2 Karten sicher. Ziehen wir eine weitere Karte und versagen, dann erhalten wir 0 Karten. Schaffen wir es, eine Karte zu ziehen, die bisher noch nicht ausliegt, verbessern wir uns auf 3 Karten.

Ziehen wir eine Karte, haben wir eine Chance von 1:10 für jede Kartenart (wie gesagt, wir rechnen hier nicht damit, dass bereits zwei Karten vom Stapel entfernt wurden). Also würden sich unsere möglichen Erträge wie folgt aufteilen (dabei bezieht sich jede genannte Karte auf die Wahrscheinlichkeit diese zu ziehen):

Ihr seht, was wir gemacht haben? Ziehen wir eine der Karten die ausliegen, erwarten uns 0 Karten, bei allen anderen hätten wir 3. Nun tauschen wir die Bezeichnungen mit den Wahrscheinlichkeiten aus, mit denen sie auftauchen könnten. Also

Und erneut fassen wir die Formel zusammen.

Und als Ergebnis lautet das, dass wir auf lange Sicht 2,4 Karten Gewinn machen, wenn wir nach der zweiten eine dritte Karte aufdecken. Das Ergebnis ist höher als unser sicherer Erfolg von 2 Karten. Das bedeutet, dass man eine dritte Karte ziehen sollte.

Wenn das so gut läuft, machen wir doch einfach weiter. Oder?

Spinnen wir das obige Beispiel weiter. Wir haben es gewagt, eine weitere Karte aufzudecken. Vor uns liegen nun ein Anker, ein Schwert und eine Landkarte. Machen wir weiter? Erneut schauen wir, was wir sicher haben (3) und was zu erwarten ist, wenn wir versagen (0) oder, wenn wir eine passende Karte aufdecken (4).

Wie ihr garantiert schon bemerkt hat, lässt sich die Findung der Formel zum Erwartungswert abkürzen. Denn 7 von 10 Karten sorgen dafür, dass wir Erfolg haben. Somit lautet die Formel:

Rechnen wir das aus, erhalten wir auf lange Sicht gesehen 2,8 Karten, wenn wir nun weiter machen würden. Der Erwartungswert liegt also unter unserem sicheren Erfolg! Heißt, wenn wir ohne ein Risiko einzugehen gewinnen möchten, hören wir nun auf. Aber, wie immer in der Wahrscheinlichkeitsrechnung kann auch diese Entscheidung falsch sein. Denn in einzelnen Fällen ist es natürlich gut, wenn wir auf unser Bauchgefühl vertrauen und weitere Karten aufdecken.

Again what learned – Aber, wie geht es weiter?

Wir haben nun eine weitere, wichtige Grundlage der Wahrscheinlichkeitsrechnung erlernt. Zwar kratzen wir immer noch an der Oberfläche, aber gemeinsam werden wir Schritt für Schritt voranschreiten und hoffentlich schon bald die komplexeren Zusammenhänge erkennen und beeinflussen.

Aber, der wichtigste Grundsatz sollte stets bestehen bleiben. Habt Spaß am Spiel. Es ist zwar schön, die Hintergründe zu kennen, aber es geht nichts über die Freude ein Risiko erfolgreich eingegangen zu sein.