Wahrscheinlich gewinnen – Teil 1 – Siedler von Catan

Wahrscheinlichkeitsrechnung. Unverstandenes Fachgebiet der Mathematik, welches bei vielen von uns nach unserer schulischen Laufbahn nie wieder eine direkte Rolle im Leben spielen durfte. Zumindest nicht offen berechnet. Denn, während wir selten mit einem Ziegenrätsel konfrontiert werden, treffen wir in unserem Hobby an allen Ecken und Enden auf Wahrscheinlichkeiten. Mal in Form von Würfeln, mal mit Karten oder einfach über unsere Mitspieler ausgelöst.

Doch Wahrscheinlichkeitsrechnung muss kein Buch mit sieben Siegeln sein. Und hat man sie einigermaßen im Griff, kann man diverse Entscheidungen, die bisher eher aus dem Bauch heraus getroffen wurden, vielleicht gezielter wählen. Wir haben uns also mit dem mathematischen Berater unseres Vertrauens zusammengetan, und versuchen euch mit auf unsere Reise zu nehmen. Vielen Dank an dieser Stelle an Jürgen Eberhardt, dass er sich die Zeit genommen hat und uns nun Schritt für Schritt das Hintergrundwissen für diese Artikel liefert.

Die Siedler von Catan

Beginnen wir mit einem Spiel, welches jeder von uns kennt und welches bei den meisten von uns dafür sorgte, dass wir überhaupt beim Hobby Spiel gelandet sind. Man kann guten Gewissens sagen, dass die Siedler von Catan ein Klassiker ist, der, obwohl er nicht perfekt ist, für viele vergnügliche Stunden gesorgt hat. Denn das Spiel weiß es, wie wenig andere, Aufbau, Spielerinteraktion und eine Portion Glück zu vereinen. Wir sehen also, wie unsere Siedlungen immer weiter wachsen und fahren mit unseren kommunikativen Fähigkeiten Erfolge in Verhandlungen ein. Aber, wie steht es mit den Erträgen, die allein auf Würfeln basieren? Können wir unser Glück beeinflussen, und so dafür sorgen ein Quäntchen erfolgreicher zu sein, als andere?

Erste Überlegungen

Am Anfang jedes Zuges werden zwei sechsseitige Würfel geworfen. Daraus ergeben sich 36 mögliche Kombinationen, wie diese fallen können. Und, wie jeder weiß, lautet das Ergebnis in den meisten Fällen 7. Zumindest, wenn es um die Wahrscheinlichkeitsrechnung geht. Aber wie kommt man überhaupt darauf?

Sehen wir uns die Würfel genauer an, kann jeder von ihnen ein Ergebnis zwischen 1 und 6 liefern. Dabei gibt es extreme Ergebnisse, die jeweils nur in einer gültigen Kombination vorkommen können. Nämlich die 2 und die 12, die nur entstehen, indem zwei 1er oder zwei 6er gewürfelt werden. Somit besteht bei eurem Wurf eine Chance von 1:36, einen Ertrag zu erhalten, falls ihr auf ein Feld baut, welches eine der Zahlen aufzeigt. Prozentual gesehen erscheint also bei einem Wurf in 2,78 % der Fälle eine 2, wenn wir sie brauchen. Nicht allzu berauschend.
Zurück zur oben erwähnten 7, sehen wir, dass es insgesamt 6 Kombinationsmöglichkeiten gibt, diese aus zwei Würfeln zu bilden.

Die Chance liegt also bei 6:36. Vereinfachen wir das Ergebnis, sehen wir, dass wir in 1 von 6 Fällen eine 7 würfeln werden, was also in 16,67 % der Fälle eintritt.

Jetzt haben wir schon einmal bestimmen können, wie häufig der Räuber ausgelöst wird und wie unpraktisch die Felder 2 und 12 sind. Aber, welches ist rechnerisch das lukrativste Feld? Viele wissen die Lösung wahrscheinlich schon, aber könnt ihr dies auch beweisen, oder basiert der Wert rein auf euren Erfahrungen?

Die besten Felder

Oben haben wir insgesamt 8 der möglichen 36 Kombinationen aufgeführt. Aber, was ist mit den restlichen 28? Welche sind diejenigen, die euch die meisten Erträge liefern werden? Nach der Wahrscheinlichkeitsrechnung wären das natürlich die im Spiel rot markierten Felder 6 und 8. Aber, warum ist dem so?

Für beide gilt dasselbe, was wir euch am Beispiel der 6 aufzeigen werden. Dieser könnt ihr durch 5 Kombinationen mit zwei Würfeln erhalten.

Wir haben also eine Chance von 5:36, dass die Würfel für uns passend fallen, was einer Wahrscheinlichkeit von 13,89 % entspricht, dass ihr, oder eure Mitspieler, eine 6 oder eine 8 werft.

Je weiter wir uns von der 7, als besten Schnitt, entfernen, desto unwahrscheinlicher wird es, dass das Ergebnis erscheint. Bei einer 5 und 9 wären es noch 11,11 %, bei einer 4 und 10 noch 8,33 % und bei einer 3 und 11 noch 5,56 %.

Ein Überblick, wie wahrscheinlich das entsprechende Ergebnis geworfen wird.

Wir sehen also, wie wir wahrscheinlich die meisten Erträge haben, wenn wir eine Partie Siedler von Catan bestreiten. Zuerst einmal die rot markierten 6 und 8 und danach so nahe, wie möglich an der 7.

Der Teufel steckt im Detail

Jedoch wissen wir alle eines genau. Selbst, wenn es noch so unwahrscheinlich ist, kann es auch gerne vorkommen, dass in einer Partie dennoch die 12 häufiger gewürfelt wird, als eine 7. Denn eines ist Wahrscheinlichkeitsrechnung nicht. Eine genaue Vorhersage. Dennoch ist es eine Methode, wie wir unserem Glück ein wenig nachhelfen können, um so nicht komplett ausgeliefert zu sein.